In the Rasch model, the probability of a specified response e. Specifically, in the original Rasch model, the probability of a correct response is modeled as a logistic function of the difference between the person and item parameter.

The mathematical form of the model is provided later in this article. In most contexts, the parameters of the model characterize the proficiency of the respondents and the difficulty of the items as locations on a continuous latent variable.

For example, in educational tests, item parameters represent the difficulty of items while person parameters represent the ability or attainment level of people who are assessed.

The higher a person's ability relative to the difficulty of an item, the higher the probability of a correct response on that item.

When a person's location on the latent trait is equal to the difficulty of the item, there is by definition a 0. A Rasch model is a model in one sense in that it represents the structure which data should exhibit in order to obtain measurements from the data; i.

Beyond data, Rasch's equations model relationships we expect to obtain in the real world. For instance, education is intended to prepare children for the entire range of challenges they will face in life, and not just those that appear in textbooks or on tests.

By requiring measures to remain the same invariant across different tests measuring the same thing, Rasch models make it possible to test the hypothesis that the particular challenges posed in a curriculum and on a test coherently represent the infinite population of all possible challenges in that domain.

A Rasch model is therefore a model in the sense of an ideal or standard that provides a heuristic fiction serving as a useful organizing principle even when it is never actually observed in practice.

The perspective or paradigm underpinning the Rasch model is distinct from the perspective underpinning statistical modelling. Models are most often used with the intention of describing a set of data.

Parameters are modified and accepted or rejected based on how well they fit the data. In contrast, when the Rasch model is employed, the objective is to obtain data which fit the model Andrich, ; Wright, , The rationale for this perspective is that the Rasch model embodies requirements which must be met in order to obtain measurement, in the sense that measurement is generally understood in the physical sciences.

A useful analogy for understanding this rationale is to consider objects measured on a weighing scale. Suppose the weight of an object A is measured as being substantially greater than the weight of an object B on one occasion, then immediately afterward the weight of object B is measured as being substantially greater than the weight of object A.

A property we require of measurements is that the resulting comparison between objects should be the same, or invariant, irrespective of other factors.

This key requirement is embodied within the formal structure of the Rasch model. Consequently, the Rasch model is not altered to suit data.

Instead, the method of assessment should be changed so that this requirement is met, in the same way that a weighing scale should be rectified if it gives different comparisons between objects upon separate measurements of the objects.

However, the model is a general one, and can be applied wherever discrete data are obtained with the intention of measuring a quantitative attribute or trait.

When all test-takers have an opportunity to attempt all items on a single test, each total score on the test maps to a unique estimate of ability and the greater the total, the greater the ability estimate.

Total scores do not have a linear relationship with ability estimates. Rather, the relationship is non-linear as shown in Figure 1. The total score is shown on the vertical axis, while the corresponding person location estimate is shown on the horizontal axis.

For the particular test on which the test characteristic curve TCC shown in Figure 1 is based, the relationship is approximately linear throughout the range of total scores from about 13 to The shape of the TCC is generally somewhat sigmoid as in this example.

However, the precise relationship between total scores and person location estimates depends on the distribution of items on the test. The TCC is steeper in ranges on the continuum in which there are a number of items, such as in the range on either side of 0 in Figures 1 and 2.

In applying the Rasch model, item locations are often scaled first, based on methods such as those described below. This part of the process of scaling is often referred to as item calibration.

In educational tests, the smaller the proportion of correct responses, the higher the difficulty of an item and hence the higher the item's scale location.

Once item locations are scaled, the person locations are measured on the scale. As a result, person and item locations are estimated on a single scale as shown in Figure 2.

In general, the probability of a person responding correctly to a question with difficulty lower than that person's location is greater than 0.

A single ICC is shown and explained in more detail in relation to Figure 4 in this article see also the item response function.

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